直线方程的求解：已知两点坐标

求解直线方程是对点和直线进行几何建模的基石。已知两点坐标($x_1, y_1$)和($x_2, y_2$)，确定直线方程的方法如下：

直线方程的求解：已知两点坐标

点斜式

点斜式方程以其中一个点为参考点，表示直线与参考点的关系：

$$y - y_1 = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$

其中，($x_1, y_1$)是参考点。

斜截式

斜截式方程以y截距和斜率为参数，表示直线与y轴和x轴的关系：

$$y = mx + b$$

其中，b是y截距，m是斜率，计算方法如下：

$$m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

$$b = y_1 - mx_1$$

两点式

两点式方程直接利用两点的信息，表示直线与两点的关系：

$$(y - y_1)(x_2 - x_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)$$

一步求解

对于简单的情况，可以使用一步求解法：

$$y = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_2) + y_2$$

举例

已知两点A(2, 5)和B(6, 11)，求解过这两点的直线方程：

点斜式：

$$y - 5 = frac{11 - 5}{6 - 2}(x - 2)$$

$$y - 5 = frac{6}{4}(x - 2)$$

$$y - 5 = frac{3}{2}(x - 2)$$

斜截式：

$$m = frac{11 - 5}{6 - 2} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$$

$$b = 5 - frac{3}{2}(2) = 5 - 3 = 2$$

$$y = frac{3}{2}x + 2$$

两点式：

$$(y - 5)(6 - 2) = (11 - 5)(x - 2)$$

$$4(y - 5) = 6(x - 2)$$

$$2y - 10 = 3x - 12$$

$$2y = 3x - 2$$