高考数学五条线 高考数学第5题

2017年高考数学基础练习（六）

例3 用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?

一、选择题

高考数学五条线 高考数学第5题

高考数学五条线 高考数学第5题

1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为()

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

：A解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()

A.1 B.2

C. -2D.3

3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是()

A.{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b|-1≤b<1}

D.非以上

：

B解题思路：在同一坐标系中，画出y=x+b与曲线x=(就是x2+y2=1，x≥0)的图象，如图所示，相切时b=-，其他位置符合条件时需-1

4.若圆C：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()

A.2 B.3

C.4 D.6

：C解题思路：圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2，所以圆心为(-1,2)，半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称，所以圆心在直线2ax+by+6=0上，所以-2a+2b+6=0，即b=a-3，点(a，b)到圆心的距离为

d==

==.

所以当a=2时，d有最小值=3，此时切线长最小，为==4，故选C.

5.已知动点P到两定点A，B的距离和为8，且|AB|=4，线段AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有()

A.5条 B.6条

C.7条 D.8条

：D命题立意：本题考查椭圆的定义与性质，难度中等.

解题思路：依题意，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长是8，短轴长是2=4的椭圆.注意到经过该椭圆的中心O的最短弦长等于4，最长弦长是8，因此过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度可以为整数4,5,6,7,8，其中长度为4,8的各一条，长度为5,6,7的各有两条，因此满足题意的弦共有8条，故选D.

6.设m，nR，若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则m+n的取值范围是()

A.[1-，1+]

B.(-∞，1-][1+，+∞)

C.[2-2，2+2]

D.(-∞，2-2][2+2，+∞)

：D解题思路： 直线与圆相切，

=1，

|m+n|=，

即mn=m+n+1，

设解：原方程可化为：m+n=t，则mn≤2=，

t+1≤， t2-4t-4≥0，

解得：t≤2-2或t≥2+2.

7.在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得=λ+μ，则λ2+(μ-3)2的取值范围是()

A.[0，+∞) B.(2，+∞)

C.(2,8) D.(8，+∞)

：B解题思路：依题意B，O，C三点不可能在同一直线上， ·=|cos BOC=cos BOC∈(-1,1)，又由=λ+μ，得λ=-μ，于是λ2=1+μ2-2μ·，记f(μ)=λ2+(μ-3)2.则f(μ)=1+μ2-2μ·+(μ-3)2=2μ2-6μ-2μ·+10，可知f(μ)>2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)<2μ2-4μ+10=2(μ-1)2+8无值，故λ2+(μ-3)2的取值范围为(2，+∞).

8.已知圆C：x2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x-y-2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使得OPQ=30°，则x0的取值范围是()

A.[-1,1] B.[0,1]

C.[-2,2] D.[0,2]

：D解析：由题知，在OPQ中，=，即=， |OP|≤2，又P(x0，x0-2)，则x+(x0-2)2≤4，解得x0[0,2]，故选D.

9.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2+y2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之，则该直线的方程为()

A.x+y-2=0 B.y-1=0

C.x-y=0 D.x+3y-4=0

：A命题立意：本题考查直线、线性规划与圆的综合运用及数形结合思想，难度中等.

解题思路：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直.又已知点P(1,1)，则kOP=1，故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点P(1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.

10.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是()

A. B.

C.[-， ] D.

：B命题立意：本题考查直线与圆的位置关系，难度中等.

解题思路：在由弦心距d、半径r和半弦长|MN|构成的直角三角形中，由勾股定理，得|MN|=≥，得4-d2≥3，解得d2≤1，又d==，解得k2≤，所以-≤k≤.

二、填空题

11.已知直线l：y=-(x-1)与圆O：x2+y2=1在象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则MOA的面积等于________.

：命题立意：本题考查直线与圆的位置关系的应用，难度较小.

解题思路：联立直线与圆的方程可得xM=，故SMOA=×|OA|×xM=××=.

12.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2+b2=c2，则直线ax-by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为________.

：2命题立意：本题考查直线与圆位置关系的应用，求解弦长一般采用几何法求解，难度较小.

解题思路：圆心到直线的距离d===，故直线被圆截得的弦长为2=2=2.

13.已知A(-2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足APO=BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________.

：(x-2)2+y2=4(y≠0)命题立意：本题考查角平分线的性质及直接法求轨迹方程，难度中等.

解题思路：因为A(-2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足APO=BPO，故点P在角APB的角平分线上，则利用PAPB=AOOB=21，设点P(x，y)，则利用关系式可知=2化简可得(x-2)2+y2=4(y≠0).

14.若直线m被两平行线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是

15°30°45°60°75°

其中正确的序号是________.(写出所有正确的序号)

：解题思路：设直线m与l1，l2分别交于A，B两点，

过A作ACl2于C，则|AC|==.

又|AB|=2，ABC=30°.

又直线l1的倾斜角为45°，

直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.

B组

一、选择题

1.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos AFB=()

A. B.

C.- D.-

：D解题思路：联立消去y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.

不妨设点A在x轴下方，所以A(1，-2)，B(4,4).

因为F(1,0)，所以=(0，-2)，=(3,4).

因此cos AFB=

==-.故选D.

2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()

A. B.

C.1 D.2

：D解题思路：由题意知，抛物线的准线l为y=-1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1，则|MM1|=，|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|≥6，即|AA1|+|BB1|≥6，即2|MM1|≥6， |MM1|≥3，即M到x轴的距离d≥2，故选D.

3.设双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为()

A.或- B.或-

C.1或-1 D.或-

：D命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.

解题思路：如图如示，不妨设点A是象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.

A. B.

C. D.

：C解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，

|F1F2|=2c，|EF2|=b，

由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，

又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

所以e2===，故e=，故选C.

5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为()

A. B.2 C.4 D.8

：C解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.

6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于()

A. B.3 C. D.3

：B命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.

解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.

7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

：D解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.

8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()

A.2 B. C. D.

：B命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.

解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.

9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()

A.2 B.3

C. D.

10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是()

A. B. C. D.

：C命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.

解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.

二、填空题

11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.

：(1)-8(2)2命题立意：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，难度中等.

解题思路：设直线AB的方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

知识拓展：将ABF分割后进行求解，能有效减少计算量.

12. B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________.

：命题立意：本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质，难度中等.

解题思路：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.

13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若=，则p=________.

：2解题思路：过B作BE垂直于准线l于E，

=， M为AB的中点，

|BM|=|AB|，又斜率为，

BAE=30°， |BE|=|AB|，

|BM|=|BE|， M为抛物线的焦点，

p=2.

14.

如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________.

：解题思路：设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，-b)·(-c，-b)0， e>或e<，又0

15.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：-=1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A，B两点，若=2，则直线l的斜率为________.

：±命题立意：本题考查直线与双曲线的位置关系，难度中等.

解题思路：联立直线与双曲线，结合根与系数的关系及向量的坐标运算求解.由题意可知，直线l与双曲线的两支相交，故设直线l：y=kx+1，k，代入双曲线方程整理得(3-4k2)x2-8kx-16=0().设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由=2得x1=-2x2，在()中，利用根与系数的关系得x1+x2=，解得x2=-，y2=，代入双曲线方程整理得16k4-16k2+3=0，解得k2=，故直线l的斜率是±.

数学一次函数知识点 高考数学一次函数知识点总结

第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有3个，

考数学函数部分的内容特别丰富，而且知识点众多，需要同学们深入理解，下面是我给大家带来的高考数学一次函数知识点总结，希望对你有帮助。

用“捆绑”法解题比较简单，实质是通过“捆绑”减少了元素，它与下面要提到的“插孔”法结合起来，威力便更大了。

高考数学一次函数知识点

一次函数性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b(k≠0)(k不等于0，且k，b为常数)

2.当x=0时，b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b).

当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tana(角a为一次函数图象与x轴正方向夹角,a≠90°)

4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

5.函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行;

当k不同，且b相等，图象相交于Y轴;

当k互为负倒数时，两直线垂直;

6.平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间

一次函数图像性质

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

2.y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：

当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限;

当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限;

当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限;

当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、二象限;

当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

3.直线y=kx+b中k、b的关系

k>0,b>0：经过、二、三象限

k>0,b<0：经过、三、四象限

k>0,b=0：经过、三象限(经过原点)

结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0b>0：经过、二、四象限

k<0,b<0：经过第二、三、四象限

k<0,b=0：经过第二、四象限(经过原点)

结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

一次函数的应用

此题要考虑X的范围

解:设总费用为Y元，刻录X张

则电脑公司：Y1=8X学校：Y2=4X+120

当X=30时，Y1=Y2

当X>30时，Y1>Y2

当X<30时，Y1

一次函数知识点

1、正比例函数

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

2、正比例函数图象和性质

一般地，正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大;当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.

3、正比例函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：

(1)设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0);

(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程;

(4)将求得的待定系数的值代回解析式.

4、一次函数

一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

5、一次函数的图象

(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过(0，b)和 两点的一条直线，因此一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.

(2)一次函数y=kx+b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：(0，b)， .即横坐标或纵坐标为0的点.

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移).

7、直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

k>0,b>0经过、二、三象限

k>0,b<0经过、三、四象限

k>0,b=0经过、三象限k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0b>0经过、二、四象限

k<0,b<0经过第二、三、四象限

K,0,b=0经过第二、四象限

k<0图象从左到右下降，y随x的增大而减小

8、直线y1=kx+b与y2=kx图象的位置关系：

(1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx+b的图象.

(2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移-b个单位，就得到了y1=kx+b的图象.

9、直线l1：y1=k1x+b1与l2：y2=k2x+b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：

当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b).

10、直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点.

(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0);

(2)直线y=kx+b与x轴交点坐标为(0，0)与 y轴交点坐标为(0，b).

5条建议帮你突破高考数学

（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。

学习方式，如何突破高考数学？学好高中数学的5条建议。

一、训练数学思维

如果你在学习的时候遇到了自己没有什么思路的题时，请不要直接看答家和结果，因为数学并非是会看就会做，而是需要通过思维不断打磨才能提升准确率的学科。

可以把题目深深的记在脑子里，在外走路、等车、吃饭的时候就在脑子里去思考下，利用这些碎片化的时间培养自己的数学思维，不会影响到其他学习安排。如果到了晚上还是想不出就去看，每天一道题，数学思维就培养起来了。

1.确认章节知识点、核心知识点、必考点。看到题先思考，这样会更好的搭建出自己的知识体系。

2.把题目进行拆解，划分成一个个子题干。分解题目，大目标换小目标便于玫破。

3.翻译转化，将题干对应到知识点上确定知识点的应用。知识点包装以后就是题干，题干的内核就是知识点，需要我们互相翻译。

4.从题干正推，从问题逆推。逆推：解决这个问题，需要知道什么？

5.谨慎计算。

三、提分需要合理

把：A解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.卷上的题进行分类：

1.我一定能做对的，那些出了就能拿分的题，说明你已经掌握，这时候就要确保做了就对的准确性。

2.努努力能做对的，无论是因为马虎还是因为改错，都代表你对此类问题背后的知识点有些模棱两可。因此这部分需要重点记忆，否则会出现固定思维，成为常错题。

3.完全不可能做对的，这不是我们提分的关键，而是在确保①和②的准确率提升了以后再进行攻克。

四、刷题、错题

刷题可能是提高数学成绩的方法，也是对于数学不好的同学最简单的方法。

但是刷题并非是盲目的题海战术，也不是以背题型为目的。刷题最重要的就是思考的过程，让大脑越来越灵活，能够完整的转化题干并将所学知识点灵活运用。同时，错题真的真的很重要，无论是重新在本上记录，还是整理做过的试卷，你需要每隔一两周就拿出来重新做一遍，每掌握一道错题，高考就能多出5-10分！

五、有机会多给别人讲题

任何时候给别人讲题都不是浪费时间。其实在给别人讲题的过程，也是加深自己理解的过程。在沟通的时候不仅能够发现自己之前没太在意的细节，同时还有可能发现这道题目的新思路。不光如此，在本身学习压力比较大的高中时时期，讲题还能收获自信，这种愉悦的心情会激起你对数学的兴趣，在后续学习上也会事半功倍。

高考数学必考知识点？

2011年高考数学考点（139个）

必修（115个）

一、、简易逻辑（14课时,8个）

1.; 2.子集; 3.补集;

4.交集; 5.并集; 6.逻辑连结词;

7.四种命题; 8.充要条件.

二、函数（30课时,12个）

1.映射; 2.函数; 3.函数的单调性;

4.反函数; 5.互为反函数的函数图象间的关系; 6.指数概念的扩充;

7.有理指数幂的运算; 8.指数函数; 9.对数;

10.对数的运算性质; 11.对数函数. 12.函数的应用举例.

三、数列（12课时,5个）

1.数列; 2.等数列及其通项公式; 3.等数列前n项和公式;

4.等比数列及其通顶公式; 5.等比数列前n项和公式.

四、三角函数（46课时17个）

1.角的概念的推广; 2.弧度制; 3.任意角的三角函数;

4,单位圆中的三角函数线; 5.同角三角函数的基本关系式;

6.正弦、余弦的诱导公式’ 7.两角和与的正弦、余弦、正切;

8.二倍角的正弦、余弦、正切; 9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;

10.周期函数; 11.函数的奇偶性; 12.函数 的图象;

13.正切函数的图象和性质; 14.已知三角函数值求角; 15.正弦定理;

16余弦定理; 17斜三角形解法举例.

五、4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()平面向量（12课时,8个）

1.向量 2.向量的加法与减法 3.实数与向量的积;

4.平面向量的坐标表示; 5.线段的定比分点; 6.平面向量的数量积;

7.平面两点间的距离; 8.平移.

六、不等式（22课时,5个）

1.不等式; 2.不等式的基本性质; 3.不等式的证明;

4.不等式的解法; 5.含的不等式.

七、直线和圆的方程（22课时,12个）

1.直线的倾斜角和斜率; 2.直线方程的点斜式和两点式; 3.直线方程的一般式;

4.两条直线平行与垂直的条件; 5.两条直线的交角; 6.点到直线的距离;

7.用二元一次不等式表示平面区域; 8.简单线性规划问题. 9.曲线与方程的概念;

10.由已知条件列出曲线方程; 11.圆的标准方程和一般方程; 12.圆的参数方程.

八、圆锥曲线（18课时,7个）

1椭圆及其标准方程; 2.椭圆的简单几何性质; 3.椭圆的参数方程;

4.双曲线及其标准方程; 5.双曲线的简单几何性质; 6.抛物线及其标准方程;

7.抛物线的简单几何性质.

九、（B）直线、平面、简单何体（36课时,28个）

1.平面及基本性质; 2.平面图形直观图的画法; 3.平面直线;

4.直线和平面平行的判定与性质; 5,直线和平面垂直的判与性质;

6.三垂线定理及其逆定理; 7.两个平面的位置关系；

8.空间向量及其加法、减法与数乘; 9.空间向量的坐标表示;

10.空间向量的数量积; 11.直线的方向向量; 12.异面直线所成的角;

13.异面直线的公垂线; 14异面直线的距离; 15.直线和平面垂直的性质;

16.平面的法向量; 17.点到平面的距离; 18.直线和平面所成的角;

19.向量在平面内的射影; 20.平面与平面平行的性质; 21.平行平面间的距离;

22.二面角及其平面角; 23.两个平面垂直的判定和性质; 24.多面体;

25.棱柱; 26.棱锥; 27.正多面体; 28.球.

十、排列、组合、二项式定理（18课时,8个）

1.分类计数原理与分步计数原理. 2.排列; 3.排列数公式’

4.组合; 5.组合数公式; 6.组合数的两个性质;

7.二项式定理; 8.二项展开式的性质.

十一、概率（12课时,5个）

1.随机的概率; 2.等可能的概率; 3.互斥有一个发生的概率;

4.相互同时发生的概率; 5.重复试验.

选(3)解方程，求出待定系数k;修Ⅱ（24个）

十二、概率与统计（14课时,6个）

1.离散型随机变量的分布列; 2.离散型随机变量的期望值和方; 3.抽样方法;

4.总体分布的估计; 5.正态分布; 6.线性回归.

十三、极限（12课时,6个）

1.数学归纳法; 2.数学归纳法应用举例; 3.数列的极限;

4.函数的极限; 5.极限的四则运算; 6.函数的连续性.

十四、导数（18课时,8个）

1.导数的概念; 2.导数的几何意义; 3.几种常见函数的导数;

4.两个函数的和、、积、商的导数； 5.复合函数的导数; 6.基本导数公式;

7.利用导数研究函数的单调性和极值; 8函数的值和最小值.

十五、复数（4课时,4个）

1.复数的概念; 2.复数的加法和减法; 3.复数的乘法和除法;

4.数系的扩充.

给出地区

考纲

高三数学必修二知识点总结

1.y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线)

1.高三数学必修二知识点总结

一、有关概念

1、的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个，其中每一个对象叫元素。

2、的中元素的三个特性：

1.元素的确定性;

2.元素的互异性;

3.元素的无序性

说明：

(1)对于一个给定的，中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的的元素。

(2)任何一个给定的中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个时，仅算一个元素。

(3)中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)元素的三个特性使本身具有了确定性和整体性。

3、的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1.用拉丁字母表示：A={我校的'篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2.的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念

的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是A的元素，就说a属于A记作a∈A，相反，a不属于A记作a?A

列举法：把中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的'解集是{x?Rx-3>2}或{xx-3>2}

4、的分类：

1.有限集含有有限个元素的

2.无限集含有无限个元素的

3.空集不含任何元素的例：{xx2=-5｝

二、间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一。

反之:A不包含于B,或B不包含A,记作AB或BA

2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={xx2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个A与B，如果A的任何一个元素都是B的元素，同时,B的任何一个元素都是A的元素，我们就说A等于B，即：A=B

①任何一个是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1B那就说A是B的真子集，记作AB(或BA)

③如果AíB,BíC,那么AíC

④如果AíB同时BíA那么A=B

3.不含任何元素的叫做空集，记为Φ

2.高三数学必修二知识点总结

解三角形

（1）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

数列

（1）数列的概念和简单表示法。

①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。

②了解数列是自变量为正整数的一类函数。

（2）等数列、等比数列。

①理解等数列、等比数列的概念。

②掌握等数列、等比数列的通项公式与前项和公式。

③能在具体的问题情境中，识别数列的等关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

④了解等数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

不等关系

一元二次不等式

①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

二元一次不等式组与简单线性规划问题

①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

基本不等式：

①了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的（小）值问题圆的辅助线一般为连圆心与切：C解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.线或者连圆心与弦中点。

3.高三数学必修二知识点总结

空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

(1)共面：平行、相交

(2)异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法

两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

(1)有且一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

4.高三数学必修二知识点总结

(1)必然：在条件S下，一定会发生的，叫相对于条件S的必然;

(2)不可能：在条件S下，一定不会发生的，叫相对于条件S的不可能;

(3)确定：必然和不可能统称为相对于条件S的确定;

(4)随机：在条件S下可能发生也可能不发生的，叫相对于条件S的随机;

(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一A是否出现，称n次试验中A出现的次数nA为A出现的频数;称A出现的比例fn(A)=nnA为A出现的概率：对于给定的随机A，如果随着试验次数的增加，A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为A的概率。

(6)频率与概率的区别与联系：随机的频率，指此发生的次数nA与试验总次数n的比值nnA，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机的概率，概率从数量上反映了随机发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个的概率。

5.高三数学必修二知识点总结

等比数列

1、等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a，G，b三数成等比数列的必要不充分条件。

2、等比数列通项公式

an=a1xq’（n—1）（其中首项是a1，公比是q）

an=Sn—S（n—1）（n≥2）

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1（1—q’n）/（1—q）=（a1—a1xq’n）/（1—q）（q≠1）

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

3、等比数列前n项和与通项的关系

an=a1=s1（n=1）

an=sn—s（n—1）（n≥2）

4、等比数列性质

（1）若m、n、p、q∈Nx，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；

（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an—1=a3·an—2=…=ak·an—k+1，k∈{1，2，…，n}

（4）等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n—1=（an）2n—1，π2n+1=（an+1）2n+1

（5）等比数列前n项之和Sn=a1（1—q’n）/（1—q）

（6）任意两项am，an的关系为an=am·q’（n—m）

（7）在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

数算排列,组合公式

你要找的是排列组合公式吧？找到了，还有例题，慢慢看，别心急。

1．加法原理和乘法原理

两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。

解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。

（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。

例2．已知两个A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？

分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有的元素与之对应。”

因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。

2．排列数与组合数的两个公式

排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。

连乘积的形式 阶乘形式

Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) =

Cnm=

例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m

证明：左边=

∴ 等式成立。

评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形过程得以简化。

例4．解方程.

解得x=3。

评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。

3．排列与组合的应用题

历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。

一般方法有：直接法和间接法。

（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。

（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩ = 的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。

特殊方法：

（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。

（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。

（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。

（4）其它方法。

例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。

（1）甲排中间； （2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；

（4）甲在乙的左边（不要求相邻）； （5）甲，乙，丙连排；

（6）甲，乙，丙两两不相邻。

解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。

（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有 种，故共有 · =3600种不同排法。

（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有 ·=1400种不同的排法。

（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列 中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有 =2520种。

（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有· =720种不同排法。

（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有·=1440种不同的排法。

例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：

（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。

解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有 种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有 =388（个）。

（2）5的倍数：按0作不作个位来分类

类：0作个位，则有=120。

第二类：0不作个位即5作个位，则 =96。

则共有这样的数为： + =216（个）。

（3）比20300大的数的五位数可分为三类：

类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3个；

第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4个；

因此，比20300大的五位数共有：3+4 +3 =474（个）。

（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。

例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？

解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：

类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；

第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；

第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1= ++1=31（条）。

所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：N2=N1-2=31-12=19（条）。

解排列组合问题的策略

要正确解答排列组合问题，要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题；第二要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理，做到不重不漏；第三要计算正确。下面将通过对若干例题的分析，探讨解答排列组合问题的一些常见策略，供大家参考。

一、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略

对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想。

例1 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

解：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①当0排在末尾时，有 个；②当0不排在末尾时，三位偶数有 个，据加法原理，其中偶数共有 + =30个，选B。

若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用的思想来考虑。这里仅举以下几例：

(1)无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的的交是空集)

例2 用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?

解：由题意可知，两个特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0，首位可取元素的A={1，2，3，4，5}，末位可取元素的B={0}，A∩B= 。如图1所示。

末位上有 种排法，首位上有 种不同排法，其余位置有 种不同排法。所以，组成的符合题意的六位数是 =120(个)。

说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素是无关的。先分别求出两个特殊位置上的排列数(不需考虑顺序)，再求出其余位置上的排列数，利用乘法原理，问题即可得到解决。

(2)包合型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成具有包合关系)

解：由题意可知，首位、末位是两个特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的

A={1，2，3，4，5}，末位可取元素的B={5}，B A，用图2表示。

末位上只能取5，有 种取法，首位上虽然有五个元素可取但元素5已经排在末位了，故只有 种不同取法，其余四个位置上有 种不同排法，所以组成的符合题意的六位数有 =96(个)。

说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素组成的具有包含关系，先求被包合的中的元素在特殊位置上的排列数，再求另一个位置上的排列数，次求其它位置上排列数，利用乘法原理，问题就可解决。

(3)影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。这类题型在高考中比较常见。)

例4 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?

解：由题意可知，首位和百位是两个特殊位置，“3”是特殊元素。首位上可取元素的 A={2，3，4，5}，百位上可取五、解相邻问题——采用“捆绑”策略元素的B={1，2，4，5}。用图3表示。

从图中可以看出，影响型可分成无关型和包含型。①首先考虑首位是3的五位数共有： 个；②再考虑首位上不是3的五位数，由于要比20000大，∴首位上应该是2、4、5中的任一个， 种选择；其次3应排在千位、十位与个位三个位置中的某一个上， 种选择，还有三个数、三个位置，有 种排法，于是首位上不是3的大于20000的五位数共有个 。

综上①②，知满足题设条件的五位数共有： + =78个。

二、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏。

例5 平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。

简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：步．先在4条平行线中任取两条，有 种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有 种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有· =60个。

例6 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?

解：依题意，共线的三点组可分为三类：两端点皆为顶点的共线三点组共有 =28(个)；两端点皆为面的中心的共线三点组共有 =3(个)；两端点皆为各棱中点的共线三点组共有 =18(个)。

所以总共有28+3+18=49个。

例7 某种产品有4只次品和6只(每只产品均可区分)。每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止。求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?

解：先考虑第五次测试的产品有4种情况，在前四次测试中包含其余的3只次品和1只，它们排列的方法数是6 。依据乘法原理得所求的不同情形有4×6 =576种。

有些排列组合问题元素多，取出的情况也有多种，对于这类问题常用的处理方法是：可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，计算总和。

例8 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有 （ ）

A、210个 B、300个 C、464个 D、600个

分析：按题意个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，符合题的分别有 ， ， ，， 个。

合并总计，共有 + + + + =300(个)。

故选B。

说明：此题也可用定序问题缩位法求解，先考虑所有6位数： 个，因个位数字须小于个位数字，故所求6位数有( )/ =300(个)。

处理此类问题应做到不重不漏，即每两类的交集为空集，所有类的并集为合集，因此要求合理分类。

例9 已知A和B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面的两个条件的C的个数：

(1)C A∪B，且C中含有3个元素；

(2)C∩A≠ （ 表示空集)。

分析：由题意知，属于B而不属于A元素个数为12-4=8，因此满足条件(1)、(2)的C可分为三类：

类：含A中一个元素的集C有 个；

第二类：含A中二个元素的集C有 个；

第三类：含A中三个元素的集C有 个。

故所求集C的个数是 + + =1084。

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，分别分配到不同的位置上，对于这类问题的常用解法，是先将元素逐一分组，然后再进行全排列、但在分组时要注意是否为均匀分组。

例10 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护土，不同的分配方法共有 ( )。

A．90种 B．180种 C．270种 D．540种

分析：(一)先分组、后分配：

步：将3名医生分成3组，每组一人只有一种分法。

第二步：将6名护士分成3组，每组2人有：( )/ 种分法。

第三步：将医生3组及护士3组进行搭配，使每组有一名医生、2名护士，有 种搭配方法。

第四步：将所得的3组分配到3所不同的学校有 种分配法。

故共有不同的分配方法： · =540(种)。故选(D)。

分析：(二)步：先将6名护士分配到3所不同学校，每所学校2名，则有 (种)分法。

第二步：再将3名医生分配到3所不同的学校，每所学校1人，有 种分法。

故共有 =540(种)故选(D)。

说明：处理此类问题应注意准确分步。

三、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。

例11 4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_________种。

四、正难则反、等价转化策略

对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理。即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法。其实它就是补集思想。

例12 马路上有编号为1、2、3、…、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_______种。

简析：关掉一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑。因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即从6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有=10种。故满足条件的关灯的方法共有10种。

例13 甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成—种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程共有多少种?

解：设甲队队员为a1，a2,…a7，乙队队员为b1，b2,……，b7，下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列，是胜队中获胜队员和可能未参赛的队员。如a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7。所表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员，故比赛过程的总数为 =3432。

例14 有2个a，3个b，4个c 共九个字母排成一排，有多少种排法?

分析：若将字母作为元素，1—9号位置作为位子，那么这是一个“不尽相异元素的全排列”问题，若转换角色，将1—9号位置作为元素，字母作为位子，那么问题便转化成一个相异元素不许重复的组合问题。

即共有 =1260(种)不同的排法。

有些问题反面的情况为数不多，容易讨论，则可用剔除法。

对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题策略。

例15 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )

A．150种 B．147种 C．14种 D．141种

分析：在这10个点中，不共面的不易寻找，而共面的容易找。因此，采用剔除法，由10个点中取出4个点的组合数( 减去4个点共面的个数即为所求)。4点共面情形可分三类：

类：四面体每个面中的四个点共面，共有 4× =60种；

第二类：四面体的每2组对棱的中点构成平行四边形，则这四点共面，共有3种；

第三类：四面体的一条棱上三点共线，这三点与对棱中点共面，共有6种。故4点不共面的取法有

-(4 +6+3)=141种。

例16 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种。

解：从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有 种；取1个偶数和2个奇数的取法有 种。另外，从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有9种不同取法。

因此，符合题设条件的不同取法有 + -9=51种。

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再在相邻元素之间排列。

事实上，这种方法就是将相邻的某几个元素，优先考虑。让这些特殊元素合成一个元素，与普通元素排列后，再松绑。

例17 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相邻，且B在A右边，那么不同排法有 （ ）

A．24种 B．60种 C．90种 D．120种

分析：将特殊元素A，B按B在A的右边“捆绑”看成一个大元素，与另外三个元素全排列 ，由A，B不能交换，故不再“松绑”，选A。

例18 5人成一排，要求甲、乙相邻，有几种排法?

解：将甲、乙“捆绑”成一个元素，加上其他3元素，共4元素，全排列有 种，甲、乙内部的排列有 种。故共有 =48种。

也可以这样理解：先让甲、丙、丁、戊，排成一列有 种，再将乙插入甲的左边或右边，有 种，共 =48种。

例19 展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种? ( )

A、 B、 C、 D、

分析：先把3种品种的画各看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有 种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为 ，故选D。

例20 5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有________种。

简析：将3名老师捆绑起来看作一个元素，与5名学生排列，有 种排法；而3名老师之间又有 种排法，故满足条件的排法共有 =4320种。

六、解不相邻问题——采用“插孔”策略

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排列好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。

例21 7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是 ( )

A．1440种 B．3600种 C．4320种 D．4800种

简析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有 种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入，有 种方法。故共有 · =3600种排法，选B。

例22 要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈不相邻，问有多少种不同排法?

分析：先将6个歌唱节目排成一排有 种排法，6个歌唱节目排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入4个舞蹈节目有 种，故共 ·6！=604800种不同排法。

例23 从1，2，3，…，2000这2000个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?

解：将问题转化成把10名女学生不相邻地插入站成一列横列的1990名男生之间(包括首尾两侧)，有多少种方法?

因为任意相邻2名男学生之间最多站1名女学生，队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1名女学生。于是，这就是19个位置中任选10个位置的组合问题，故共有 种方法。

利用“插孔”法，也可以减少元素，从而简化问题。

例24 一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法?

解：将问题转化成把3个人坐5张椅子，然后插一把空椅子问题。

3个人若坐5张椅子，每2人之间一张空椅子。坐法是固定的有 种不同的坐法，然后，将余下的那张椅子插入3个坐位的4个空隙，有4种插法。所以共有4 =24种不同的坐法。

七、解定序问题——采用除法策略某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省?

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，这其实就是局部有序问题，利用除法来“消序”。

例25 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有（ ）

A．210个 B．300个 C. 464个 D．600个

简析：若不考虑附加条件，组成的六位数共有 个，而其中个位数字与十位数字的 种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共 =300个，故选B。

例26 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 ________(用数字作答)。

分析：5面旗全排列有 种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是 =10(种)。

说明：此题也可以用组合来解，只需5个位置中确定3个，即 =10。

例27 有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法?

分析：先在7个位置上任取4个位置排男生，有 种排法，剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有 =840种。

在处理分堆问题时，有时几堆中元素个数相等，这时也要用除法，

例28 不同的钢笔12支，分3堆，一堆6支，另外两堆各3支，有多少种分法?

解：若3堆有序号，则有 · ，但考虑有两堆都是3支，无须区别，故共有 / =9240种。

例29 把12支不同的钢笔分给3人，一人得6支，二人各得3，有几种分法?

解：先分堆：有 / 种。再将这三堆分配给三人，有 种。共有 · / =3 种。

本题亦可用“选位，选项法”，即： =3 。

八、解分排问题—采用直排处理的策略

把n个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。

例30 两排座位，排3个座位，第二排5个座位，若8位学生坐(每人一个座位)。则不同的坐法种数是（ ）

A、 B、 C、 D、

简析：因8名学生可在前后两排的8个座位中随意入坐，再无其他条件，所以两排座位可看作一排来处理，其不同的坐法种数是 ，故应选D。

九、解“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略

对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，再进行“小团体”内部的排列。

例31 三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，其出场方案共有 ( )

A．36种 B．18种 C．12种 D．6种

简析：按要求出场顺序必须有一个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱家中选一名(有 种选法)与两名女歌唱家组成一个团体，将这个小团体视为一个元素，与其余2名男歌唱家排列有 种排法。小团体内2名女歌唱家排列有 种排法，所以共有 =36种出场方案，选A。

十、简化计算繁琐类问题——采用递归策略

所谓递归策略，就是先建立所求题目结果的一个递推关系式，再经简化题目条件得出初始值，进而递推得到所求。

例32 有五位老师在同一年级的6个班级中，分教一个班的数学，在数学会考中，要求每位老师均不在本班监考，共有安排监考的方法总数

2023年安徽高考数学难度

简析：这是一个排列与组合的混合问题。因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分两步进行：步选，从4个球中任选2个球，有 种选法。从4个盒子中二、流程化的做题思路选出3个，有 种选法；第二步排列，把选出的2个球视为一个元素，与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有 种排法。所以满足条件的放法共有 =144种。

2023年安徽高考数学难度介绍如下：

2023年安徽高考的难度将比往年可能会简单一些。因为从近十年高考试题难度来看，整体难度呈下降趋势。但是随着难度系数上升，高考录取分数线势必下降；与此相反，高考录取分数线必然会上升，因此安徽2023高考的难度应在2022以内保持稳定，难度系数与去年基本持平。

2023安徽高考文理科录取分本科提前批、专科提前批、本科批、本科第二批、专科批，共5个批次。下面是小编对2023安徽高考分数线的预测：

预计2023年安徽高考一本分数线文科在530分上下，理科在495分上下；安徽高考二本分数线文科在480分上下，理科在435分上下；安徽高考专科录取分数线在200分上下。

安徽高考2023年使用什么试卷

安徽高考用全国乙卷考试，满分750分。

安徽省普通高校招生全国统一考试统考科目为：3+文科综合/理科综合。“3”指语文、数学和外语三个科目，其中数学分为文科数学和理科数学；“文科综合”包括思想、历史和地理学科；“理科综合”包括物理、化学和生物学科。

高考全国卷不会因考题别导致教材别，一切都是遵照高考大纲命题的。高考后试卷不能拿走，高考试卷会密封后送到指定的阅卷场所，阅卷后的高考试卷属于高考档案的一种，要存档保留一定年限的，考生是无法再次接触到自己的高考试卷的。

因为各地的实际情况不一样，所以全国高考试卷有甲卷、乙卷等试卷，各省市地区可以根据自己的需要选择适合的试卷用于高考。并不是所有的省市地区都是命题的，各地区可以根据需要选择是否使用全国卷，使用的话是全部使用，还是只使用哪些科目的试卷，这些都是各省市地区可以根据自身需要自主选择的。

高考数学常用公式及结论

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

掌握数学公式，对你的考试是有所帮助的。下面是学习啦小编网络整理的2016高考必备数学公式以供大家学习。

2016高考必备数学公式(一)

通项公式的求法：

(1)构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式;

(2)构造等数列：递推式不能构造等比数列时，构造等数列;

(3)递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

已知递另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等数列是“同构”的。推公式求通项常见方法：

①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1 +λ=q(an+λ)进而得到λ。

②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。

③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。