数列求通项的七大技巧，例题解析

在学习数学中，数列求通项是一项基本技能。掌握七种主要方法可以让我们高效地解决各种数列问题。

数列求通项的七大技巧，例题解析

一、差分法

适用于公差为常数的等差数列。通项公式为：`an = a1 + (n-1)d`，其中a1为首项，d为公差。

例题：求等差数列{1, 4, 7, 10, ...}的通项公式。 解：a1 = 1，d = 4 - 1 = 3，因此通项公式为`an = 1 + (n - 1)3 = 3n -2`。

二、等比数列法

适用于公比为常数的等比数列。通项公式为：`an = a1 q^(n-1)`，其中a1为首项，q为公比。

例题：求等比数列{-2, 6, -18, ...}的通项公式。 解：a1 = -2，q = 6 / -2 = -3，因此通项公式为`an = -2 (-3)^(n-1)`。

三、求和法

对于具有特定规律的求和函数，可以用求和法计算通项。

例题：求数列{1, 3, 6, 10, ...}的通项公式。 解：该数列是三角形数列，第n项为`an = n(n+1)/2`。

四、数学归纳法

通过证明通项公式对所有自然数都成立，可以得到通项公式。

例题：证明数列{1, 2, 5, 8, ...}的通项公式为`an = n^2 + 1`。 解： 基本步：当n=1时，1^2 + 1 = 1，成立。 归纳步：假设当n=k时，通项公式成立，即ak = k^2 + 1。则当n=k+1时，ak+1 = (k+1)^2 + 1 = k^2 + 2k + 2 = (k+1)^2 + 1，也成立。

五、特征方程法

对于含有变量n的数列，可以通过解特征方程来求通项公式。

例题：求数列{1, 1, 2, 3, 5, ...}的通项公式。 解：特征方程为：`x^2 - x - 1 = 0`，其根为：x = (1 ± √5) /2。因此通项公式为：`an = A((1 + √5) /2)^n + B((1 - √5) /2)^n`。

六、母函数法

将数列表示为一个母函数，并通过求导或积分来求通项。

例题：求数列{1, 0, 1, 0, 1, ...}的通项公式。 解：母函数为：`f(x) = 1 + x^2 + x^4 + ... = 1/(1 - x^2)`，求导得到：`f'(x) = 2x/(1 - x^2)`。通项公式为：`an = f'(x^n) = 2x^n/(1 - x^2)`，其中x^n的系数为通项。

七、行列式法

对于一些特殊的数列，可以使用行列式来求通项。